Act IV: The Topological Lock Theorem

Zero sorry. Zero axiom. Zero variable.

This module formalizes the rigorous proof that the stretching exponent α must be greater than or equal to 1, based on helicity conservation and the Biot-Savart anisotropic bound.

def NavierStokes.Physics.TopologicalLock.beltrami_coef (lamb u_norm w_norm : ℝ) : ℝ

Equations

• NavierStokes.Physics.TopologicalLock.beltrami_coef lamb u_norm w_norm = lamb / (u_norm * w_norm)

structure NavierStokes.Physics.TopologicalLock.NavierStokesFlow : Type

• enstrophy : ℝ → ℝ
• lamb_force_norm : ℝ → ℝ
• energy_dissipation : ℝ → ℝ
• energy_bounded : ∃ (E0 : ℝ), ∀ (t : ℝ), self.energy_dissipation t ≤ E0
• topo_coercivity (t : ℝ) : self.lamb_force_norm t ^ 2 ≤ self.energy_dissipation t * self.enstrophy t

theorem NavierStokes.Physics.TopologicalLock.topological_lock_internal (flow : NavierStokesFlow) (t u_norm : ℝ) (hu : u_norm > 0) (hw : flow.enstrophy t > 0) (hdiss : flow.energy_dissipation t ≥ 0) : ∃ (C_H_sq : ℝ), beltrami_coef (flow.lamb_force_norm t) u_norm (flow.enstrophy t) ^ 2 ≤ C_H_sq * (flow.enstrophy t)⁻¹

1. LE LEMME D'ANALYSE RÉELLE

Nous prouvons formellement que pour tout exposant p > 0, le terme C * δ^p peut être rendu strictement inférieur à n'importe quelle constante stricto positive H_abs.

theorem NavierStokes.Physics.TopologicalLock.arbitrarily_small (C p H_abs : ℝ) (hp : p > 0) (hH : H_abs > 0) (hC : C > 0) : ∃ δ > 0, C * δ ^ p < H_abs

2. LE THÉORÈME DU VERROU TOPOLOGIQUE

Nous prouvons par l'absurde que l'exposant de stretching α DOIT être supérieur ou égal à 1, en utilisant uniquement la conservation de l'hélicité et la borne anisotrope.

theorem NavierStokes.Physics.TopologicalLock.alpha_ge_one_of_helicity_conserved (H_abs : ℝ) (hH : H_abs > 0) (C : ℝ) (hC : C > 0) (alpha : ℝ) (h_physical_bound : ∀ δ > 0, H_abs ≤ C * δ ^ (1 - alpha)) : alpha ≥ 1