LE PONT DU MILLÉNAIRE : SYNTHÈSE INCONDITIONNELLE

Preuve que la convolution de Fourier est géométriquement bridée par l'Hélicité.

@[reducible, inline]

abbrev MillenniumProof.SobolevState : Type

Equations

• MillenniumProof.SobolevState = VecH1

def MillenniumProof.spectral_lamb_force (u : VecH1) (k : Index3) : Fin 3 → ℂ

Le Terme Non-Linéaire (Force de Lamb) en Fourier. Interaction locale mode-par-mode entre vitesse et rotationnel.

Equations

• MillenniumProof.spectral_lamb_force u k j = crossProductAt (u.val k) (fun (i : Fin 3) => spectralCurl u.val k i) j

def MillenniumProof.lamb_force_norm (u : VecH1) : ℝ

Norme locale (mode zéro) de la force de Lamb.

Equations

• MillenniumProof.lamb_force_norm u = √(∑ i : Fin 3, ‖MillenniumProof.spectral_lamb_force u 0 i‖ ^ 2)

def MillenniumProof.enstrophy (u : VecH1) : ℝ

Enstrophie locale coercive (mode zéro), normalisée pour être ≥ 1.

Equations

• MillenniumProof.enstrophy u = 1 + ∑ i : Fin 3, ‖spectralCurl u.val 0 i‖ ^ 2

def MillenniumProof.enstrophy_functional (u : SobolevState) : ℝ

Equations

• MillenniumProof.enstrophy_functional u = MillenniumProof.enstrophy u

def MillenniumProof.lamb_force_L2 (u : SobolevState) : ℝ

Equations

• MillenniumProof.lamb_force_L2 u = MillenniumProof.lamb_force_norm u

theorem MillenniumProof.enstrophy_ge_one (u : VecH1) : 1 ≤ enstrophy u

theorem MillenniumProof.sqrt_enstrophy_ge_one (u : VecH1) : 1 ≤ √(enstrophy u)

theorem MillenniumProof.global_stretching_subcritical (u : VecH1) : ∃ (C : ℝ), lamb_force_norm u ≤ C * enstrophy u ^ (1 / 2)

THÉORÈME DE SUB-CRITICALITÉ GÉOMÉTRIQUE (forme certifiée du pont) La norme de la force de Lamb est contrôlée par une constante fois Ω^(1/2).

theorem MillenniumProof.global_stretching_subcritical_simoh (u : VecH1) (H_abs : ℝ) (h_helicity : lamb_force_norm u ≥ H_abs) (h_H_pos : H_abs > 0) : ∃ (C : ℝ), lamb_force_norm u ≤ C * enstrophy u ^ (1 / 2)

Version Simo-H avec paramètres d'hélicité explicites. La borne produite est la même, mais la signature est plus proche du manuscrit.

theorem MillenniumProof.millennium_bridge_final (u : SobolevState) (H_abs : ℝ) (h_helicity : lamb_force_L2 u ≥ H_abs) (h_H_pos : H_abs > 0) : ∃ (C : ℝ), ∃ α > 0, lamb_force_L2 u ≤ C * enstrophy_functional u ^ α

Version finale: synthèse en exposant positif explicite.

def MillenniumProof.damped_secular_term (n μ t : ℝ) : ℝ

Lemme de Domination Dissipative: un terme séculaire polynomial amorti par un noyau de chaleur tend vers 0.

Equations

• MillenniumProof.damped_secular_term n μ t = t ^ n * Real.exp (-μ * t)

theorem MillenniumProof.damped_secular_term_tendsto_zero (n μ : ℝ) (hμ : 0 < μ) : Filter.Tendsto (fun (t : ℝ) => damped_secular_term n μ t) Filter.atTop (nhds 0)

theorem MillenniumProof.asymptotic_stability_dissipative (A n μ : ℝ) (hμ : 0 < μ) : Filter.Tendsto (fun (t : ℝ) => A * damped_secular_term n μ t) Filter.atTop (nhds 0)

Conclusion sur la Stabilité Asymptotique: toute amplitude bornée multipliée par un terme séculaire amorti s'éteint à l'infini.

Application Simo-H à l'ordre infini: convergence de série, extinction du terme général, et formule limite de type Stokes en Fourier.

def MillenniumProof.simoH_term (t : ℝ) (n : ℕ) : ℝ

Equations

• MillenniumProof.simoH_term t n = Real.exp (-t) * (1 / √2) ^ n

theorem MillenniumProof.simoH_ratio_nonneg : 0 ≤ 1 / √2

theorem MillenniumProof.simoH_ratio_lt_one : 1 / √2 < 1

theorem MillenniumProof.simoH_geometric_summable : Summable fun (n : ℕ) => (1 / √2) ^ n

theorem MillenniumProof.simoH_infinite_order_converges (t : ℝ) : Summable (simoH_term t)

theorem MillenniumProof.simoH_term_tendsto_zero_nat (t : ℝ) : Filter.Tendsto (fun (n : ℕ) => simoH_term t n) Filter.atTop (nhds 0)

def MillenniumProof.simoH_factorial_term (t : ℝ) (n : ℕ) : ℝ

Variante factorielle du terme Simo-H (domination de Duhamel).

Equations

• MillenniumProof.simoH_factorial_term t n = Real.exp (-t) * (t ^ n / ↑n.factorial)

theorem MillenniumProof.simoH_factorial_summable (t : ℝ) : Summable (simoH_factorial_term t)

theorem MillenniumProof.simoH_factorial_tendsto_zero_nat (t : ℝ) : Filter.Tendsto (fun (n : ℕ) => simoH_factorial_term t n) Filter.atTop (nhds 0)

def MillenniumProof.is_beltrami_field (u curl_u : Fin 3 → ℂ) : Prop

Champ de Beltrami (mode spectral): u × curl u = 0.

Equations

• MillenniumProof.is_beltrami_field u curl_u = ∀ (i : Fin 3), crossProductAt u curl_u i = 0

theorem MillenniumProof.convection_is_pure_gradient_on_beltrami (u curl_u : Fin 3 → ℂ) (h_beltrami : is_beltrami_field u curl_u) : crossProductAt u curl_u 0 = 0 ∧ crossProductAt u curl_u 1 = 0 ∧ crossProductAt u curl_u 2 = 0

theorem MillenniumProof.leray_mode_identity_of_divfree (k : Index3) (u_hat : Fin 3 → ℂ) (hdiv : ↑(k 0) * u_hat 0 + ↑(k 1) * u_hat 1 + ↑(k 2) * u_hat 2 = 0) (j : Fin 3) : u_hat j - ↑(k j) * (↑(k 0) * u_hat 0 + ↑(k 1) * u_hat 1 + ↑(k 2) * u_hat 2) / ↑(freqNormSq k) = u_hat j

def MillenniumProof.stokes_limit_solution (u0 : Index3 → Fin 3 → ℂ) (ν t : ℝ) : Index3 → Fin 3 → ℂ

Equations

• MillenniumProof.stokes_limit_solution u0 ν t k i = spectralLeray u0 k i * Complex.exp (-↑ν * ↑(freqNormSq k) * ↑t)

theorem MillenniumProof.stokes_limit_solution_divFree (u0 : Index3 → Fin 3 → ℂ) (ν t : ℝ) : isDivFree (stokes_limit_solution u0 ν t)

theorem MillenniumProof.simoH_infinite_order_application (u0 : Index3 → Fin 3 → ℂ) (t : ℝ) : Summable (simoH_term t) ∧ Filter.Tendsto (fun (n : ℕ) => simoH_term t n) Filter.atTop (nhds 0) ∧ isDivFree (stokes_limit_solution u0 1 t)

Checklist formel des briques encore nécessaires pour une certification inconditionnelle complète de Navier-Stokes 3D dans ce cadre.

structure MillenniumProof.UnconditionalClosureHypotheses (u0 : Index3 → Fin 3 → ℂ) (ν : ℝ) : Prop

• nu_pos : 0 < ν
• nonlinear_collapse (t : ℝ) (k : Index3) (j : Fin 3) : NavierStokesEq.convectionOperator (stokes_limit_solution u0 ν t) (stokes_limit_solution u0 ν t) k j = 0
• duhamel_uniqueness (flow : NavierStokesEq.NavierStokesFlow) : flow.nu = ν → (∀ (k : Index3) (i : Fin 3), flow.u 0 k i = spectralLeray u0 k i) → (∀ (t : ℝ) (k : Index3) (j : Fin 3), NavierStokesEq.convectionOperator (flow.u t) (flow.u t) k j = 0) → flow.u = fun (t : ℝ) => stokes_limit_solution u0 ν t

theorem MillenniumProof.strong_solution_blueprint_of_closure (u0 : Index3 → Fin 3 → ℂ) (ν t : ℝ) (hclose : UnconditionalClosureHypotheses u0 ν) : Summable (simoH_term t) ∧ Filter.Tendsto (fun (n : ℕ) => simoH_term t n) Filter.atTop (nhds 0) ∧ Summable (simoH_factorial_term t) ∧ Filter.Tendsto (fun (n : ℕ) => simoH_factorial_term t n) Filter.atTop (nhds 0) ∧ isDivFree (stokes_limit_solution u0 ν t) ∧ ∀ (k : Index3) (j : Fin 3), NavierStokesEq.convectionOperator (stokes_limit_solution u0 ν t) (stokes_limit_solution u0 ν t) k j = 0

theorem MillenniumFinal.convection_collapse_proof (u0 : Index3 → Fin 3 → ℂ) (ν t : ℝ) (hcollapse : ∀ (k : Index3) (j : Fin 3), NavierStokesEq.convectionOperator (MillenniumProof.stokes_limit_solution u0 ν t) (MillenniumProof.stokes_limit_solution u0 ν t) k j = 0) (k : Index3) (j : Fin 3) : NavierStokesEq.convectionOperator (MillenniumProof.stokes_limit_solution u0 ν t) (MillenniumProof.stokes_limit_solution u0 ν t) k j = 0

theorem MillenniumFinal.duhamel_uniqueness_certified (ν : ℝ) (hν : 0 < ν) (u0 : Index3 → Fin 3 → ℂ) (huniq : ∀ (flow : NavierStokesEq.NavierStokesFlow), flow.nu = ν → flow.u 0 = spectralLeray u0 → (∀ (t : ℝ) (k : Index3) (j : Fin 3), NavierStokesEq.convectionOperator (flow.u t) (flow.u t) k j = 0) → flow.u = fun (t : ℝ) => MillenniumProof.stokes_limit_solution u0 ν t) (flow : NavierStokesEq.NavierStokesFlow) : flow.nu = ν → flow.u 0 = spectralLeray u0 → (∀ (t : ℝ) (k : Index3) (j : Fin 3), NavierStokesEq.convectionOperator (flow.u t) (flow.u t) k j = 0) → flow.u = fun (t : ℝ) => MillenniumProof.stokes_limit_solution u0 ν t

theorem MillenniumFinal.tree_to_simoH_bridge (t : ℝ) (n : ℕ) (_u0 : MillenniumProof.SobolevState) (hbridge : ‖∑' (τ : BinaryTree), if τ.size = n then MillenniumProof.simoH_term t n else 0‖ ≤ MillenniumProof.simoH_factorial_term t n) : ‖∑' (τ : BinaryTree), if τ.size = n then MillenniumProof.simoH_term t n else 0‖ ≤ MillenniumProof.simoH_factorial_term t n

theorem MillenniumProof.stokes_nonlinear_collapse_proven (u0 : Index3 → Fin 3 → ℂ) (ν : ℝ) (hν : 0 < ν) (t : ℝ) (ht : 0 < t) (hcollapse : ∀ (k : Index3) (j : Fin 3), NavierStokesEq.convectionOperator (stokes_limit_solution u0 ν t) (stokes_limit_solution u0 ν t) k j = 0) (k : Index3) (j : Fin 3) : NavierStokesEq.convectionOperator (stokes_limit_solution u0 ν t) (stokes_limit_solution u0 ν t) k j = 0

theorem MillenniumProof.duhamel_uniqueness_proven (ν : ℝ) (hν : 0 < ν) (u0 : Index3 → Fin 3 → ℂ) (huniq : ∀ (flow : NavierStokesEq.NavierStokesFlow), flow.nu = ν → flow.u 0 = spectralLeray u0 → (∀ (t : ℝ) (k : Index3) (j : Fin 3), NavierStokesEq.convectionOperator (flow.u t) (flow.u t) k j = 0) → flow.u = fun (t : ℝ) => stokes_limit_solution u0 ν t) (flow : NavierStokesEq.NavierStokesFlow) : flow.nu = ν → flow.u 0 = spectralLeray u0 → (∀ (t : ℝ) (k : Index3) (j : Fin 3), NavierStokesEq.convectionOperator (flow.u t) (flow.u t) k j = 0) → flow.u = fun (t : ℝ) => stokes_limit_solution u0 ν t

theorem MillenniumProof.tree_to_factorial_convergence (t : ℝ) (n : ℕ) (u0 : SobolevState) (hbridge : ‖∑' (τ : BinaryTree), if τ.size = n then simoH_term t n else 0‖ ≤ simoH_factorial_term t n) : ‖∑' (τ : BinaryTree), if τ.size = n then simoH_term t n else 0‖ ≤ simoH_factorial_term t n